第二章 圆锥曲线与方程 抛物线的简单几何性质

第二章 圆锥曲线与方程  抛物线的简单几何性质

                                   撰搞人：张士强   审核人：冯冰

学习目标：

1. 了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质．

2．会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题。

教学重点与难点：

重点：抛物线的简单几何性质。

难点：抛物线的简单几何性质的应用。

内容纲要：

1. 抛物线的简单几何性质。

2. 直线与抛物线的位置关系。

3. 抛物线的焦点弦。

重点难点解析：

一. 抛物线的简单几何性质：

抛物线的简单几何性质：

(1)对称性：以代，方程不变，因此这条抛物线是以_____轴为对  称轴的轴对称图形．抛物线的对称轴叫作抛物线的_____，抛物线只有一条对称轴．

 (2)顶点：抛物线和它的_____的交点叫作抛物线的顶点．

     (3)离心率：抛物线上的点到_____的距离和它到_____的距离的比，叫作抛物线的离心率，抛物线的离心率为1.

     (4)通径：过焦点垂直于轴的弦称为抛物线的通径，其长为_____.

     (5)范围：由，0知，所以抛物线在轴的_____侧；当的值增大时，||也_____，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，值越大，它开口________.

二．直线与抛物线：

1.将直线方程与抛物线方程联立，消元后得到一元二次方程，若Δ＝0，则直线与抛物线_____，若Δ>0，则直线与抛物线_____，若Δ<0，则直线与抛物线___________．特别地，当直线与抛物线的轴平行时，直线与抛物线有_____个公共点．

2．在求解直线与抛物线的位置关系的问题时，要注意运用函数与方程思想，将位置关系问题转化为方程_____的问题．

三．抛物线的焦点弦：

1.焦半径抛物线上一点与焦点F连接的线段叫作焦半径，设抛物线上任一点A，则四种标准方程形式下的焦半径公式为

焦点弦问题如图所示：AB是抛物线过焦点F的一条弦，设A、B，AB的中点M，抛物线的准线为.

例1. 若抛物线上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和M点的坐标． 

例2．已知直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．     (1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；     (2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离． 

例3. 设P是抛物线上的一个动点，F为抛物线焦点．     (1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线＝－1的距离之和的最小值；     (2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值． 

例4．如图，过抛物线上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB、AC交抛物线于B、C两点，求证：直线BC的斜率是定值．

例5.求过点P(0,1)且与抛物线只有一个公共点的直线方程。

【精要练习题】

1．顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，过点(－2,3)的抛物线方程是________．

2．(2014·山师大附中高二期中)抛物线(p>0)的焦点恰好与椭圆的一个焦点重合，则p＝________．

3．动圆的圆心在抛物线上，且动圆恒与直线＋2＝0相切，则动圆必过定点________．

4．抛物线上点P(,2)到焦点F的距离为________．

5．P为抛物线的焦点弦AB的中点，A、B、P三点到抛物线准线的距离分别是|AA1|、 |BB1|、|PP1|，则有(　　)

   A．|PP1|＝|AA1|＋|BB1|           B．|PP1|＝2(1)|AB|

   C．|PP1|>2(1)|AB|                  D．|PP1|<2(1)|AB|

6．过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，若点A、B在抛物线准线上的射影分别为A1，B1，则∠A1FB1为________．

7．沿直线发出的光线经抛物线反射后，与轴相交于点A(2,0)，则抛物线的准线方程为________．

8．一个正三角形的两个顶点在抛物线上，另一个顶点在坐标原点，如果这个三角形的面积为36，则＝________.

9．已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，且与圆相交的公共弦长等于2，求抛物线的方程．

10．已知抛物线与直线相交于A，B两点．

    (1)求证：OA⊥OB；   (2)当△OAB的面积等于时，求的值．

【精要练习题】答案：1．y2＝－2(9)x或x2＝3(4)y    2．4　  3．(2,0)   4．2   5．B   6．90                                 

7．　x＝－2   8．±2   9．y2＝3x或y2＝－3x   10．(1)略　(2)±6(1)