第二章 圆锥曲线与方程 椭圆的简单几何性质

第二章 圆锥曲线与方程  椭圆的简单几何性质

                                   撰搞人：张士强   审核人：冯冰

学习目标：

1.掌握椭圆上点的集合范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.

2.明确标准方程中a，b以及c，e的几何意义，a、b、c、e之间的相互关系.

3.能利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题．

教学重点与难点：

重点：椭圆的简单几何性质，

难点：椭圆的简单几何性质的应用。

内容纲要：

1. 椭圆的简单几何性质，

2. 直线与椭圆的位置关系。

重点难点解析：

一. 椭圆的简单几何性质

2.直线与椭圆

直线y＝kx＋b与椭圆a2(x2)＋b2(y2)＝1 (a>b>0)的位置关系：

直线与椭圆相切⇔＝1(y2)有______组实数解，即Δ______0；

直线与椭圆相交⇔＝1(y2)有______组实数解，即Δ______0；

直线与椭圆相离⇔＝1(y2)有______组实数解，即Δ______0.

例1. 求椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率，焦点和顶点坐标． 

例2．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，求椭圆的方程。

例3.已知椭圆2(x2)＋m(y2)＝1的离心率为2(1)，求椭圆的方程。

例4．如图所示，A、B、C分别为椭圆a2(x2)＋b2(y2)＝1 (a>b>0)的顶点与焦点，若∠ABC＝90°，求该椭圆的离心率。

例5．2003年10月15日9时，“神舟”五号载人飞船发射升空，于9时9分50秒准确进入预定轨道，开始巡天飞行．该轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆．选取坐标系如图所示，椭圆中心在原点，近地点A距地面200km，远地点B距地面350km.已知地球半径R＝6371km.

(1)求飞船飞行的椭圆轨道的方程；(2)飞船绕地球飞行了十四圈后，于16日5时59分返回舱与推进舱分离，结束巡天飞行，飞船共巡天飞行了约6×105km，问飞船巡天飞行平均速度是多少？(结果精确到1km/s)

例6．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.

(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；

(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．

【精要练习题】

1．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值是(　　)

    A. 4(1)　　　　     　B. 2(1)              C．2                 D．4

    2．(2011年厦门模拟)椭圆4(x2)＋9(y2)＝1的离心率是(　　)

    A. 3(5)               B. 2(5)            C. 3(13)                D. 2(13)

3．已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(－，0)，(，0)，离心率是3(6)，则椭圆C的方程为(　　)

    A. 3(y2)＋x2＝1             B. 3(x2)＋y2＝1

   C. 3(x2)＋2(y2)＝1             D. 3(y2)＋2(x2)＝1

4．椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率为(　　)

   A. 5(1)               B. 4(3)              C. 3(3)             D. 2(1)

5．椭圆的焦点在x轴上，长、短半轴之和为10，焦距为4，则椭圆的标准方程为(　　)

A. 36(x2)＋16(y2)＝1 B. 16(x2)＋36(y2)＝1

C. 6(x2)＋4(y2)＝1 D. 6(y2)＋4(x2)＝1

6． 过椭圆a2(x2)＋b2(y2)＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2 ＝60°，则椭圆的离心率为(　　)

A. 2(2)　　　　　　　  B. 3(3)                C. 2(1)                   D. 3(1)

7．若椭圆两焦点F1(－4,0)，F2(4,0)，P在椭圆上，且△PF1F2的最大面积是12，则椭圆方程为________．

8．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F(－2，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程为________．

9．求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)短轴长为6，两个焦点间的距离为8；

(2)两个顶点分别是(－7,0)，(7,0)，椭圆过点A(1,1)；

(3)两焦点间的距离为8，两个顶点分别是(－6,0)，(6,0)．

10．(2010年高考辽宁卷)设椭圆C：a2(x2)＋b2(y2)＝1(a>b>0)的右焦点为F，过F的直线l与椭圆C相交于A、B两点，直线l的倾斜角为60°，→(AF)＝2→(FB).

(1)求椭圆C的离心率；

(2)如果|AB|＝4(15)，求椭圆C的方程．

【精要练习题】答案：1-6 AABDAB

(7) 25(x2)＋9(y2)＝1  （8）16(x2)＋4(y2)＝1 （9）(1)25(x2)＋9(y2)＝1或9(x2)＋25(y2)＝1　(2)49(x2)＋49(48y2)＝1　(3)36(x2)＋20(y2)＝1或36(x2)＋52(y2)＝1 （10）（1）3(2).  （2）9(x2)＋5(y2)＝1.