第二章 圆锥曲线与方程 椭圆及其标准方程

第二章 圆锥曲线与方程  椭圆及其标准方程

                                   撰搞人：张士强   审核人：冯冰

学习目标：

 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程和椭圆标准方程的推导 与化简过程．

2．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形，会用待定系数法求椭圆的标准方程.

教学重点与难点：

重点：椭圆的定义及其标准方程。

难点：椭圆的标准方程的推导化简过程。

内容纲要：

1. 椭圆的定义、标准方程及几何图形。

2. 待定系数法求椭圆的标准方程。

3. 能够说明焦点分别在x轴和y轴上对应的椭圆方程的区别和联系。

重点难点解析：

一. 椭圆的定义 

1.我们已知平面内到两定点距离相等的点的轨迹为                            ．也 曾讨论过到两定点距离之比为某个常数的点的轨迹的情形．那么平面内到两定点距离的和(或差)等于常数的点的轨迹是什么呢？

2．平面内与两个定点F、F的距离的     等于常数(大于|FF|)的点的轨迹(或集合)叫作椭圆．这两个定点叫作椭圆的     ，      间的距离叫作椭圆的焦距．当常数等于|FF|时轨迹为              ，当常数小于|FF|时，轨迹           . 

二. 椭圆的标准方程

1. 如何建立坐标系才能使椭圆的方程比较简单．求椭圆的方程，首先要建立直角坐标系，由于曲线上同一个点在不同的坐标系中的坐标不同，曲线的方程也不同，为了使方程简单，必须注意坐标系的选择．一般情况下，应使已知点的坐标和直线(或曲线)的方程尽可能简单，在求椭圆的标准方程时，选择x轴经过两个定点F、F，并且使坐标原点为线段FF的中点，这样两个定点的坐标比较简单，便于推导方程。

2．在推导椭圆方程时，为何要设|FF|＝2c，常数为2a？为何令在求方程时，设椭圆的焦距为2c(c>0)，椭圆上任意一点到两个焦点的距离的和为2a(a>0)，这是为了使推导出的椭圆的方程形式简单．令是为了使方程的形式整齐而便于记忆．

3．推导椭圆方程时，需化简无理式，应注意什么？(1)方程中只有一个根式时，需将它单独留在方程的一侧，把其他项移到另一侧；(2)方程中有两个根式时，需将它们放在方程的两侧，并使其中一侧只有一个根式，然后两边平方．

4.椭圆的标准方程中参数有什么意义？方程与有和不同？、满足什么关系？

    、三个量的关系：椭圆的标准方程中表示椭圆上的点到两焦点距离和的一半，可借助图形帮助记忆.、（都是正数）恰好构成一个直角三角形的三边，是斜边，所有，，且（如图所示）

   当时，方程表示焦点在轴上的椭圆

    方程表示焦点在上的椭圆，即焦点在那个轴上相应的那个项分母就大.

例1.求适合下列条件的椭圆的标准方程：

     (1)两个焦点的坐标分别是椭圆上一点到两焦点距离的和等于；

    （2）两个焦点的坐标分别是，并且椭圆经过点

例2求适合下列条件的椭圆的标准方程

(1)焦点在x轴上，且经过点(2，0)和点(0，1).
(2)焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P(0，－10)，P到它较近的一个焦点的距离等于2.

小结：

求椭圆标准方程的解题步骤：

（1）确定焦点的位置；           （2）设出椭圆的标准方程；

（3）用待定系数法确定a、b的值，写出椭圆的标准方程. 

【精要练习题】

1．已知椭圆25(x2)＋16(y2)＝1上一点P到其一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为 (　　)

A．2　             　B．3　           　C．5　                　D．7

2．设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹方程是(　　)

A．椭圆              B．直线            C．圆                   D．线段

3．若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是(　　)

A．(0，＋∞)         B．(0,2)           C．(1，＋∞)            D．(0,1)

4．椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k的值为(　　)

A．－1               B．1               C.                    D．－

5．已知椭圆10－m(x2)＋m－2(y2)＝1的焦点在y轴上，若焦距为4，则m等于(　　)

A．4                 B．5               C．7                    D．8

6．已知椭圆过点P(5(3)，－4)和点Q(－5(4)，3)，则此椭圆的标准方程是(　　)

A.25(y2)＋x2＝1                             B.25(x2)＋y2＝1或x2＋25(y2)＝1

C.25(x2)＋y2＝1                             D．以上都不对

7．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为________．

8．过点(－3,2)且与9(x2)＋4(y2)＝1有相同焦点的椭圆方程是________．

9．(1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2,0)，(2,0)，并且经过点(2(5)，－2(3))，求它的标准方程；

   (2)若椭圆经过两点(2,0)和(0,1)，求椭圆的标准方程．

10.已知点P是椭圆5(y2)＋4(x2)＝1上的点，F1和F2是焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积．

【精要练习题】答案：1-6 DDDBDA  

（7） 4(x2)＋3(y2)＝1  （8） 15(x2)＋10(y2)＝1

（9）10(x2)＋6(y2)＝1；4(x2)＋y2＝1.  （10）8－4

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