第二章 解三角形 §1.2　余弦定理

第二章  解三角形  §1.2　余弦定理

                                   撰稿人：蒋传明  审核人：冯冰

学习目标:

    1.会利用数量积证明余弦定理,体会向量工具在解决三角形的度量问题时的作用.

    2.会运用余弦定理解决两类解三角形的问题.

教学重点：余弦定理

教学难点：利用余弦定理解决三角形问题

知识纲要： 

    1.余弦定理；

    2.余弦定理适用范围；

    3.运用余弦定理判断三角形形状.

重难点解析：

1.余弦定理

  三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍,即在△ABC中：

a2=b2+c2-2bccos A,

b2=c2+a2-2accos B,

c2=a2+b2-2abcos C.

2.推论：

在△ABC中：

cos A=,    cos B=,     cos C=.

例1.（1） 在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.下列等式中不成立的是(　　).

   A.a2=b2+c2-2bccos A             B.b2=c2+a2-2accos B

   C.cos A=             D.cos C=

（2）在△ABC中,a=2,b=5,c=6,则cos B等于(　　).

   A.         B.           C.        D.

（3）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若c=,b=,B=120°,求边的值.

在解三角形时,选择正弦定理和余弦定理的标准：                           注意:根据解题经验,已知两边和其中一边的对角或已知两角及一边时,通常选择正弦定理来解三角形;已知两边及夹角或已知三边时,通常选择余弦定理来解三角形.特别在求角时,尽量用余弦定理来求,其原因是三角形中角的范围是(0,π),在此范围内同一个正弦值对应一个锐角和一个钝角,用正弦定理求出角的正弦值后,还需要分类讨论这两个角是否都满足题意.但是在(0,π)内一个余弦值仅对应一个角,用余弦定理求出的是角的余弦值,可以避免分类讨论.

【例】在△ABC中,已知a=,c=,B=45°,求b和A.

分析:本题主要考查已知两边及其夹角解三角形的问题,可通过余弦定理先求第三边.在求出第三边后,用余弦定理的变形形式求解即可.

【例】在△ABC中,已知a=7,b=3,c=5,求最大角和sin C.

分析:已知三角形三边长,要求最大角和sin C的值,可先由大边对大角,确定出最大的角,再由正、余弦定理求出最大角及sin C.

已知三角形三边求角可先用余弦定理,再用正弦定理.利用余弦定理求角时,角是唯一确定的,用正弦定理求角时,则需根据三角形边角关系确定角的取值,要防止产生增解或漏解.

【例】在△ABC中,若b2sin2C+c2sin2B=2bccos Bcos C,试判断三角形的形状.

分析:利用余弦定理,将边与角的关系转化为边与边的关系,再利用平面几何知识进行判定.

判定三角形的形状时,一般有两种思路:一是转化为三角形的边与边的关系,二是转化为三角形的角与角的关系.当然有时可将边与角巧妙结合同时考虑,正、余弦定理都可以实现这种边角关系的转化.

精要练习题：

1.在△ABC中,a=1 ,b=,c=2,则B=(　　).

  A.30°     B.45°          C.60°        D.120°

2.在不等边三角形中,a是最大的边,若a2<b2+c2,则角A的取值范围为(　　).

  A.()     B. C.        D.

3.下列关于△ABC的结论中,正确的个数是(　　).

①若a2>b2+c2,则△ABC为钝角三角形;   ②若a2=b2+c2+bc,则A=60°;

③若a2+b2>c2,则△ABC为锐角三角形;

④若A∶B∶C=1∶2∶3,则a∶b∶c=1∶2∶3.

  A.1     B.2           C.3        D.4

4.在△ABC中,边a,b,c所对的角分别为A,B,C,b=3,c=5,A=120°,则a=       

5.设锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=2bsin A.

  (1)求角B的大小;(2)若a=,c=5,求边b.