第三章 不等式 §3 基本不等式
第三章 不等式 §3 基本不等式
撰写人：梁琪 审核人 ：冯冰
学习目标：
1 进一步掌握基本不等式
；会应用此不等式求某些函数的最值;
2．通过两个例题的研究，进一步掌握基本不等式
，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。
3．引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
教学重点：
基本不等式
的应用
教学难点:
利用基本不等式
求最大值、最小值。
内容纲要：
1.基本不等式;
2.算术平均数与几何平均数;
3.利用基本不等式求最值问题;
4.基本不等式的实际应用
重点难点解析
1. 基本不等式
（1）基本不等式≤2
①基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
②等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
（2）几个重要的不等式
①.a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
②.a＋b≥2(a，b同号)．
③.ab≤
(a，b∈R)．
④.2≥
(a，b∈R)．
例1.利用基本不等式证明简单不等式
(1) 已知x>0，y>0，z>0.
求证：
≥8.
(2)已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1.
求证：a＋b＋c≥9.
(3)．已知a>0，b>0，则2，， 2，a＋b中最小的是( )
A.2 B.
C. 2 D.a＋b
2．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为2，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
例2. (1).已知m>0, 求证
。
(2).设a，b
，a+2b=3 ，则
最小值是 ；
例3.(1).若x>0,求
的最小值;
(2).若x<0,求
的最大值
3．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2.(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是4.(简记：和定积最大)
【注】1．在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
2．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2＋b2≥2ab逆用就是ab≤2；2≥ (a，b>0)逆用就是ab≤22 (a，b>0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．
例4.(1)已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，则x＋y的最小值为________；
(2)当x>0时，则f(x)＝x2＋1的最大值为________．
(3)求
(x>5)的最小值.
(4)若x>0,y>0,且
,求xy的最小值.
例5．(2012·福建)下列不等式一定成立的是( )
A．
>
(x>0) B．sin x＋sin x≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R) D.x2＋1>1(x∈R)
4.基本不等式的实际应用
例6.某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5 m．房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为 150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？
【精要练习题】
1．已知m＝a＋a－2 (a>2)，n＝
－2 (x<0)，则m、n之间的大小关系是( )
A．m>n B．m<n C．m＝n D．m≤n
2．已知正数0<a<1,0<b<1，且a≠b，则a＋b，2，2ab，a2＋b2，其中最大的一个是( )
A．a2＋b2 B．2 C．2ab D．a＋b
3．设0<a<b，且a＋b＝1，在下列四个数中最大的是( )
A.2 B．b
C．2ab D．a2＋b2
4．若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈恒成立，则a的最小值为( )
A．0 B．－2 C．－2 D．－3
5.若x>0,y>0且
，则xy的最小值是 ；
6.若实数a、b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是 ；
7.x>1,y>1且lgx+lgy=4则lgxlgy最大值为 ；
8.点（x，y）在直线x+3y-2=0上，则
最小值为 ；
9.若数列{
}的通项公式是
则数列{
}中最大项 ；
10.设a，b
，a+2b=3 ，则
最小值是 ；
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