第三章不等式 §4简单的线性规划

2016-1-30 11:39:50 阅读数：网友评论: 条

利辛高级中学高二年级数学学纲（8）姓名______________ 班级________________

第三章不等式 §4简单的线性规划

撰写人：梁琪审核人：冯冰

学习目标：

1.了解线性规划的意义及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念；

2.能根据条件建立线性目标函数；

3.了解线性规划问题的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大值、最小值.

教学重点：

线性规划问题的图解法；寻求线性规划问题的最优解.

教学难点:

1．线性规划问题的图解法求目标函数的最大、最小值；

2．线性规划问题的最优整数解.

内容纲要：

1．二元一次不等式表示的平面区域

2．线性规划相关概念

3.应用

重点难点解析

1．二元一次不等式表示的平面区域

(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．

(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．

例1. （1）若点(1,3)和(－4，－2)在直线2x＋y＋m＝0的两侧，则m的取值范围是__________

（2）如图所示的平面区域(阴影部分)满足不等式____________．

（3）若不等式组3x＋y≤4(x＋3y≥4，)所表示的平面区域被直线y＝kx＋3(4)分为面积相等的两部分，则k的值是多少？

2．线性规划相关概念

名称	意义
约束条件	由变量x，y组成的一次不等式
线性约束条件	由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组
目标函数	欲求最大值或最小值的函数
线性目标函数	关于x，y的一次解析式
可行解	满足线性约束条件的解
可行域	所有可行解组成的集合
最优解	使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题	在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

引例：设变量满足条件，

（1）求的最大值和最小值.（2）求的最大值和最小值.

解（1）由题意，变量所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域。由图知，原点不在公共区域内，当时，，即点在直线：上，

作一组平行于的直线：，，

可知：当在的右上方时，直线上的点

满足，即，

而且，直线往右平移时，随之增大。

由图象可知，

当直线经过点时，对应的最大，

当直线经过点时，对应的最小，

所以，，．

（2）直线与所在直线平行，则由（1）知，

当与所在直线重合时最大，此时满足条件的最优解有无数多个，当经过点时，对应最小，

∴，．

在上述引例中，不等式组是一组对变量的约束条件，这组约束条件都是关于的一次不等式，所以又称为线性约束条件。是要求最大值或最小值所涉及的变量的解析式，叫目标函数。又由于是的一次解析式，所以又叫线性目标函数.

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。

说明：1．线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；

2．线性目标函数的最大值、最小值也可在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个。

【注】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：

(1)在平面直角坐标系内作出可行域．

(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．

(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．

(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值

例2. （1）已知x，y满足条件4x＋y＋10≥0(x＋7y－11≤0)，求4x－3y的最大值和最小值．

（2）．(2011·课标全国)若变量x，y满足约束条件6≤x－y≤9，(3≤2x＋y≤9，)则z＝x＋2y的最小值为________．

（3）设满足约束条件组，求的最大值和最小值.

3.线性规划的简单应用

例3.某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？