第三章 不等式 §1.2 不等关系与一元二次不等式
利辛高级中学高二年级数学学纲(6) 姓名______________ 班级________________
第三章 不等式 §1.2 不等关系与一元二次不等式
撰写人：梁琪 审核人 ：冯冰
学习目标：
1.了解现实世界和日常生活中存在的不等关系.了解不等式的意义,会列不等式表示数量关系..会用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.
2.会解简单的一元二次不等式.了解一元二次不等式与二次函数,一元二次方程之间的相互关系．
3.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.会解与一元二次不等式有关的恒成立问题．
教学重点：
1.一元二次不等式在求参数的值和范围中的应用，体现转化思想
2.一元二次不等式的解法
3.处理不等式恒成立问题的常用方法：
教学难点:
1．含有参数的一元二次方程的解集
2．处理不等式恒成立问题的常用方法：
内容纲要：
1.不等关系;
2.简单的一元二次不等式的解法;
3.分式不等式的解法;
4.含有参数的一元二次方程的解集;
5.简单的一元高次不等式的解法;
6.处理不等式恒成立问题的常用方法.
重点难点解析:
1.不等关系中常用的比较大小的方法:
（1）作差法：（2）作商法：
例1.比较大小
（1）设a=3x2-x+1,b=2x2+x,x∈R,则( ).
A.a>b B.a<b C.a≥b D.a≤b
（2）已知a>b>0,比较aabb与abba的大小
2. 一元二次不等式的解法
(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c>0 (a>0)或ax2＋bx＋c<0 (a>0)；
(2)求出相应的一元二次方程的根；
(3)利用二次函数的图像与x轴的交点确定一元二次不等式的解集．
2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表：
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判别式 Δ＝b2－4ac |
Δ>0 |
Δ＝0 |
Δ<0 |
|
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像 |
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一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 |
有两相异实根x1，x2(x1<x2) |
有两相等实根x1＝x2＝－2a |
没有实数根 |
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(a>0)的解集 |
{x|x<x1或x>x2} |
{x|x≠x1} |
{x|x∈R} |
|
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 |
{x|x1< x<x2} |
∅ |
∅ |
例2．（1）不等式－6x2－x＋2≤0的解集是________
（2）函数y＝lg(x2－4)＋的定义域是________
例3．若不等式
的解集为
,求关于x的不等式
－
＋ 
<0的解集．
3.不等式的同解变形法则：
(1)x>0 ⇔________； (2)x≤0 ⇔__________；
(3)x≥a ⇔x≥0.
例4．（1).不等式x＋3>0的解集是( )
A．(－3,2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，－3)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(3，＋∞)
（2）．若关于x的不等式x＋1>0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a＝________
4.含有参数的一元二次方程的解集
例6．（1).解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0.
（2）．解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a∈R)．
5．简单的一元高次不等式的解法
一元高次不等式f(x)>0用穿针引线法(或数轴穿根法)求解，其步骤是：
(1)将f(x)最高次项的系数化为正数；
(2)将f(x)分解为若干个一次因式或二次不可分解因式的积或商的形式；
(3)将每个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根既穿又过)；
(4)根据曲线显现出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集．
例7．（1).不等式x2＋x＋1<2的解集为( )
A．{x|x≠－2} B．R
C．∅ D．{x|x<－2或x>2}
（2）．不等式2≥2的解是( )
A．[－3，2] B．[－2，3]
C．[2，1)∪(1,3] D．[－2，1)∪(1,3]
（3）．不等式x－1＞0的解集为( )
A. B.
C. D.
6．处理不等式恒成立问题的常用方法：
(1)一元二次不等式恒成立的情况：
ax2＋bx＋c>0 (a≠0)恒成立⇔__________；
ax2＋bx＋c≤0 (a≠0)恒成立⇔__________.
(2)一般地，若函数y＝f(x)，x∈D既存在最大值，也存在最小值，则：
a>f(x)，x∈D恒成立⇔____________；
a<f(x)，x∈D恒成立⇔____________.
例8（1）．若不等式－x2＋2x－a≤0恒成立，则实数a的取值范围是________．
（2）．如果A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝∅，则实数a的取值范围为________．
（3）．对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值 范围是( )
A．1<x<3 B．x<1或x>3
C．1<x<2 D．x<1或x>2
例9．已知不等式x2＋px＋1>2x＋p.
(1)如果不等式当|p|≤2时恒成立，求x的取值范围；
(2)如果不等式当2≤x≤4时恒成立，求p的取值范围．
[精要练习题]
1．不等式x2<1的解集为________．
2．函数y＝的定义域是____________．
3．已知不等式x2－2x＋k2－1>0对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围为_____________．
4．(2012·重庆)不等式2x＋1≤0的解集为 ( )
A. 
B.
C.
∪[1，＋∞) D.
∪[1，＋∞)
5．若不等式ax2＋bx－2<0的解集为{x|－2<x<4}，则ab等于( )
A．－28 B．－26 C．28 D．26
6．(2012·江西)不等式x－2>0的解集是________．
7. 当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是______________．
8. 已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，
(1)求a，b的值；
(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0.
9. 已知不等式ax2＋4x＋a>1－2x2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．
10.设函数f(x)＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；
(2)若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．
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