第二章 解三角形 §1.1　正弦定理

第二章  解三角形  §1.1　正弦定理

                                      撰稿人：蒋传明  审核人：冯冰

学习目标：

   1.能够利用向量的方法证明正弦定理,并运用正弦定理解决两类解三角形的基本问题；

   2.会求三角形的面积和外接圆的半径；

   3.会利用正弦定理解决实际问题.

教学重点：正弦定理，利用正弦定理解三角形

教学难点：正弦定理的正确理解和熟练运用

知识纲要：

  1.正弦定理；

  2.正弦定理适用范围；

  3.正弦定理和三角形面积相关问题.

重难点解析

一.正弦定理

在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即在△ABC中,

              .

1.正弦定理的变形:

①a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C;

②;;;

③

(2)正弦定理中的比值大小.

设△ABC的外接圆的半径为R,则有

上述结论可变形为:

①a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C;

②sin A=,sin B=,sin C=;

例1.（1）在△ABC中,A=178°,B=1°,则有(　　).

 A.>   B.<    C.  =    D.以上结论都不对（2）在△ABC中,a=,A=45°,则△ABC的外接圆半径为　　　　. 

2.三角形常用面积公式：

   (1)S=ah       (2)S△ABC=absin C=acsin B=bcsin A

例2.在△ABC中,a=10,b=8,C=30°,则△ABC的面积S=　　　　. 

3.解三角形：

  一般地,把三角形的三个角和它们的对边叫作三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形.

  利用正弦定理可以解两类三角形:

(1)已知三角形的任意两个角与一边,求其他两边和另一角；

(2)已知三角形的两边与其中一边的对角,计算另一边的对角,进而计算出其他的边和角.

例3.（1）在△ABC中,AB=3,B=75°,C=60°,则BC=　　　. 

（2）在△ABC中,分别根据所给条件指出解的个数.

   ①a=4,b=5,A=30°；     ②a=5,b=4,A=60°；

   ③a=,b=,B=120°； ④a=,b=,A=60°.

利用正弦定理解三角形的类型及其解的情况

剖析:(1)已知两角与一边,用正弦定理,有解时,只有一解.(2)已知两边及其中一边的对角,用正弦定理,可能有两解、一解或无解.在△ABC中,已知a,b和角A时,解的情况如下:

具体解题时,

方法一:作出已知角A,边长b,以点C为圆心,以边长a为半径画弧,与射线 AB的公共点(除去顶点A)的个数即为三角形解的个数.

方法二:根据三角函数的性质来判断.

由正弦定理,得sin B=.

当>1时,无解;当=1时,有一解;

当0<<1时,如果a≥b,即A≥B,则B一定为锐角,此时有一解;如果a<b,即A<B,则有两解.

【例】已知在△ABC中,c=10,A=45°,C=30°,求a,b和B.    

分析:运用正弦定理的关键是分清已知和所求,选择一个与正弦定理相关的等式.

如果已知三角形的任意两个角与一边,由三角形的内角和定理,可以计算出三角形的另一角,再由正弦定理计算出三角形的另两边.

【例】已知下列各三角形中的两边及其一边的对角,先判断三角形是否有解,有解的作出解答.

(1)a=7,b=8,A=105°      (2)a=10,b=20,A=80°;

(3)b=10,c=5,C=60° (4)a=2,b=6,A=30°.

分析:根据三角形中大边对大角定理,并结合有解无解的图形来考虑.

已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时,可先判断解的情况.若有解,再求出另一边的对角的正弦值,然后根据该正弦值求角,需对角的情况加以讨论是否有解,如果有解是一解还是两解,再由三角形的内角和定理求出第三个角,然后利用正弦定理求出第三边.

【例】在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,B=,cos A=,b=.

(1)求sin C的值;(2)求△ABC的面积.

分析:(1)先利用三角形内角和定理用角A表示角C,再利用两角差的正弦公式求sin C;(2)利用正弦定理求出a的值,然后由公式

在△ABC中,若a,b,c分别是角A,B,C的对边,则S△ABC=bcsin A=acsin B=absin C,它是解三角形中一个重要的公式,经常在高考考题中出现,同学们应重视.

精要练习题：

1.在△ABC中,若b=2asin B,则角A的值是(　　).

  A.30°      B.60°   C.30°或120°    D.30°或150°

2.在△ABC中,B=45°,C=60°,c=1,则最短边的边长是(　　).

  A.    B.    C.             D.

3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知A=,a=,b=1,则c等于( 　)

  A.2  B.    C.-1             D.

4.在△ABC中,已知BC=12,A=60°,B=45°,则AC=　　　　. 

5.在△ABC中,c=,C=.a=2.求A, B，b