第四章 导数应用 导数在实际问题中的应用

第四章 导数应用    导数在实际问题中的应用

                                   撰搞人：张士强   审核人：冯冰

学习目标：

1.了解导数在实际问题中的意义；

2.能够利用实际问题进一步巩固和加强对导数概念的理解.

 教学重点与难点：

   重点：利用实际问题进一步巩固和加强对导数概念的理解.

   难点：导数在实际问题中的应用。

内容纲要：

    1.了解导数在实际问题中的意义 .

2. 能够利用实际问题进一步巩固和加强对导数概念的理解．

3.导数在实际问题中的应用.

重点难点解析：

1.在物理学中，通常称力在单位时间内做的功为_____，它的单位是_____．

2.在气象学中，通常把单位时间(如1时、1天等)内的降雨量称作__________，它是反映一次降雨_____的一个重要指标．

3．在经济学中，通常把生产成本y关于产量x的函数y＝f(x)的导数称为__________，f′()指的是当产量为时，生产成本的增加速度，也就是当产量为时，每增加一个单位的产量，需要增加f′()个单位的成本.

典例探究

例1 ．设质点做直线运动，已知路程s(单位：m)是时间t(单位：s)的函数：s＝＋2t＋1.求：

    (1)从t＝2变到t＝3时，s关于t的平均变化率，并解释它的实际意义；

    (2)当t＝2时的瞬时速度；

    (3)当t＝2时的加速度．

例2 ．一杯80℃的热红茶置于20℃的房间里，它的温度会逐渐下降．温度T(单位：℃)与时间t(单位：min)间的关系，由函数T＝f(t)给出．请问：

   (1)f′(t)的符号是什么？为什么？

   (2)f′(3)＝－4的实际意义是什么？如果f(3)＝65℃，你能画出函数在点t＝3min时图像的大致形状吗？

例3.某食品厂生产某种食品的总成本C(单位：元)和总收入R(单位：元)都是日产量x(单位：kg)的函数，分别为C(x)＝100＋2x＋0.02，R(x)＝7x＋0.01，试求边际利润函数以及当日产量分别为200kg,250kg,300kg时的边际利润，并说明其经济意义．

例4.造船厂年最大造船量为20艘，造船x艘产值函数为R(x)＝3 700x＋45－10(单位：万元)，成本函数c(x)＝460x＋5 000(单位：万元)，又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)的定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．求利润函数p(x)及边际利润函数Mp(x)(利润＝产值－成本)．

【精要练习题】

1．要制做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为(　　)

A.3(3)cm　　　　　   B.3(3)cm             C.3(3)cm            D.3(3)cm

2．将数8拆分为两个非负数之和，使其立方之和为最小，则分法为(　　)

A．2和6　　　　　 B．4和4             C．3和5            D．以上都不对

3．用总长为6m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为34，那么容器容积最大时，高为(　　)

A．0.5m B．1m

C．0.8m D．1.5m

4．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为(　　)

A．R　　　 B．2R　 　　

C.3(4)R　　　 D.4(3)R

5．设圆柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面半径为(　　)

A.V(3) B.π(V)

C.4V(3) D．22π(V)

6．福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝3(1)x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是(　　)

A．8 B.3(20)  

C．－1 D．－8

7．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最小，则圆柱的底面半径为________．

8．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为10km/h时燃料费是每小时6元 ，而其他与速度无关的费用是每小时96元，则此轮船的速度为______km/h航行时，能使行驶每公里的费用总和最小．

9.如图所示，一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积一定，

窗户周长最小时，x与h的比为________．

10．(2014·福州市八县联考)永泰某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x(x≥10)万元之间满足：y＝f(x)＝ax2＋50(101)x－bln10(x)，a，b为常数．当x＝10万元时，y＝19.2万元；当x＝30万元时，y＝50.5万元．(参考数据：ln2＝0.7，ln3＝1.1，ln5＝1.6)．

(1)求f(x)的解析式；

(2)求该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值．(利润＝旅游增加值－投入)．

【精要练习题】答案：

1—6    7.   3  8. 20  9.　1:1   10.(1)f(x)＝－100(x2)＋50(101)x－ln10(x)(x≥10)　(2)24.4万元