第四章 导数应用 函数的极值

第四章 导数应用     函数的极值

                                   撰搞人：张士强   审核人：冯冰

学习目标：

1.结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；

2.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值；

3.体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.

 教学重点与难点：

重点：掌握利用导数判断可导函数极值的方法，能熟练地求出已知函数的极值.

难点：从几何直观入手，理解可导函数在其定义域上的单调性与极值的关系。

内容纲要：

    1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 .

2. 会用导数求函数的极值．

3.理解可导函数在其定义域上的单调性与极值的关系.

重点难点解析：

一． 函数的极值与导数的关系

1．如图是函数y＝f(x)的图像，在x＝a邻近的左侧f(x)单调递_____，f ′(x) _____0，右侧f(x)单调递_____，f ′(x) _____0，在x＝a邻近的函数值都比f(a)小，且f ′(a) _____0.在x＝b邻近情形恰好相反，图形上与a类似的点还有__________，(e，f(e))，与b类似的点还有__________．

二． 我们把点a叫作函数f(x)的极_____值点，f(a)是函数的一个极_____值；把点b叫作函数f(x)的极_____值点，f(b)是函数的一个极_____值．

2．一般地，已知函数y＝f(x)及其定义域内一点，对于包含在内的开区间(a，b)内的所有点x，如果都有__________，则称函数f(x)在点处取得________，并把称为函数f(x)的一个__________；如果都有__________，则称函数f(x)在点处取得________，并把称为函数f(x)的一个__________．极大值与极小值统称为_____，极大值点与极小值点统称为________.

1.按定义，极值点是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b.

2．极值是一个局部性概念，只要在一个小区域内成立即可，要注意极值必须在区间内的连续点取得，一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系．即极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．(如图)

 典例探究

例1 ．求函数的极值点。

例2 ．求函数的极值。

例3.设x＝1与x＝2是函数f(x)＝＋＋x的两个极值点．

(1)试确定常数a和b的值；

(2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．

例4 右图是函数y＝f(x)的导函数y＝f ′(x)的图像，对此图像，有如下结论：

①在区间(－2,1)内f(x)是增函数；

②在区间(1,3)内f(x)是减函数；

③x＝2时，f(x)取到极大值；

④在x＝3时，f(x)取到极小值．

其中正确的是________(将你认为正确的序号填在横线上)．

例5 已知函数在时有极值0，求常数的值。

【精要练习题】

1．(2014·新课标Ⅱ文，3)函数f(x)在x＝x0处导数存在，若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则(　　)

A．p是q的充分必要条件

B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件

C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件

D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

2．函数y＝x3－3x2－9x(－2<x<2)有(　　)

A．极大值为5，极小值为－27          B．极大值为5，极小值为－11

C．极大值为5，无极小值              D．极大值为－27，无极小值

3．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a、b的值分别为(　　)

A．1，－3       B．1,3         C．－1,3         D．－1，－3

4．设函数f(x)＝，则 (　　)

    A．x＝e为f(x)的极大值点         B．x＝e为f(x)的极小值点

C．x＝e(1)为f(x)的极大值点         D．x＝e(1)为f(x)的极小值点

5．下图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图像，给出下列命题：

①x＝－3是函数y＝f(x)的极值点； ②x＝－1是函数y＝f(x)的最小值点；

③曲线y＝f(x)在x＝0处的切线斜率小于零；④函数y＝f(x)在区间(－3,1)上单调递增．

其中，正确命题的序号是(　　)

A．①②         B．①④           C．②③        D．③④

6．(2014·湖北重点中学期中联考)设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R，有大于零的极值点，则(　　)

A．a<－e(1)          B．a>－1          C．a<－1         D．a>－e(1)

7．函数f(x)＝－3(1)x3＋2(1)x2＋2x取得极小值时，x的值是________．

8．已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处取极大值，则常数c的值为________．

9．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x的导函数为f′(x)，且f′(2)＝15.

(1)求函数f(x)的图像在x＝0处的切线方程；

(2)求函数f(x)的极值．

10．设y＝f(x)为三次函数，且图像关于原点对称，当x＝2(1)时，f(x)的极小值为－1，求函数f(x)的解析式．

【精要练习题】答案：

1—6    7. －1   8. 6   9. (1)y＝－9x　(2)极大值27，极小值－5

10.  f(x)＝4x3－3x