第一章 数列 §3. 等比数列 (1)

第一章  数列   §3. 等比数列   (1)

                                         撰写人：冯冰   审核人：冯冰

学习目标：

1.理解等比数列的定义，能推导等比数列的通项公式，能利用通项公式解决相关的简单问题；

2.了解等比数列与指数函数的关系，掌握等比中项的定义，能够利用等比中项的定义解决相应的问题；

3.探索并掌握等比数列前n项和公式，能够应用公式解决等比数列的问题。

教学重点：

等比数列的概念；等比数列的通项公式；求等比数列的前项和。

教学难点：

等比数列前项和的推导；等比数列及前项和的简单应用。

内容纲要：

1.等比数列的概念；

2.等比数列的通项公式；

3.等比中项；

4.等比数列的性质；

5.等比数列的前项和公式.

重点难点解析：            

1.等比数列的概念:

  如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)

 【注意】①.求公比时，不能把相邻两项比的顺序颠倒，即公比an(an＋1) ；

          ②.要证明一个数列是等比数列，只要证明对任意的正整数，an(an＋1)是一个常数，这里所说的常数实际上是指an(an＋1)是一个与无关的数；

          ③.当时，等比数列是一个常数列，而且此数列也是一个公差的等差数列.

          ④.等比数列的公比可以是正数，也可以是负数，但不能为零.

2.通项公式：

     首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式是an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)

  .教材中是利用迭代法的不完全归纳法来得到通项公式的猜想，实际上我们也可以用“累乘法”推导得出等比数列的通项公式：   

     由   ，

     得   

.求等比数列通项公式的方法

①.方程组法：用a1，q表示出已知两项→联立方程组→解方程组，得出a1，q→写出通项公式．

②.通项公式变形法：观察已知两项是否有关系→用an＝am·qn－m(n，m∈N＋)来联系这两项→写出通项公式．

．在等比数列通项公式an＝a1qn－1中，含有首项a1，第n项an，公比q，项数n四个量，如果知道其中的三个，便可求出第四个(知三求一)．

．在通项公式的有关计算中，要注意函数与方程及整体代换的思想的应用．

. 等比数列的单调性：

    ①.当时为常数列；

    ②.当时为摆动数列；

    ③.当时，（I）.a1＞0，0＜q＜1，递减数列；q＞1，递增数列；

                （II）.a1＜0, 0＜q＜1, 递增数列；q＞1, 递减数列.

例1.在等比数列{an}中．

    (1)已知a2＝4，a5＝－2(1)，求an；

        (2)已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝2(1)，求n.

3.等比中项的概念:

   如果在a与b中插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，我们称G为a，b的等比中项，且，G＝±.

【注意】(1).若，则a，G，b不一定成等比数列.

        (2).在a，b同号时，a与b才有等比中项，而且有两个，它们互为相反数；

           若a，b异号时，a与b没有等比中项．

   例2．各项都为正数的等比数列{an}中，a1＝2，a6＝a1a2a3，求公比q的值.

4.等比数列的常见性质：

(1).等比数列{an}中，任意两项am，an的关系是am＝anqm－n ；

(2).公比为q的等比数列的各项同乘以一个不为零的数m，所得数列仍是等比数列，公比仍为q ；

(3).若m＋n＝p＋q，m，n，p，q∈N＋，则am·an＝ap·aq ；

特别地，若m＋n＝2k，m、n、k∈N＋，则aman＝ak(2) ；

(4).若等比数列{an}的公比为q，则{an(1)}是以q(1)为公比的等比数列；

(5).等比数列{an}中，序号成等差数列的项构成等比数列；

(6).若{an}与{bn}均为等比数列，则{anbn}也为等比数列．

例3.(1).已知数列{an}为等比数列，，，则（   ）

         A. 7           B.             C.            D. 5

     (2).已知数列{an}为等比数列，则下面四个数列：

         ①；②（为非零实数）；③；④中等比数列的个数是（    ）

         A.1个          B.2个            C.3个           D.4个

例4.（2009陕西高考）已知数列{an}满足，，，

（1）.令，证明：是等比数列；

（2）.求的通项公式.

【精要练习题】

1．在等比数列中，（   ）

   A.3             B.-3              C.3或-3                D.

2.在等比数列中，已知，则的值为（   ）  

   A．16           B．24             C．48                   D．128

3.已知等比数列{an}中，a10＝20，a20＝5，求a30.

4.若等比数列的各项均为正数，且，求： 的值.

5.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.

  (1)证明：数列{an＋1}是等比数列；

  (2)求数列{an}的通项公式．

6．设数列{an}中，Sn＋1＝4an＋2(n∈N＋)，且a1＝1.

(1)设bn＝an＋1－2an(n∈N＋)，求证数列{bn}是等比数列；

(2)若cn＝2n(an)，求证数列{cn}是等差数列．