第一章 常用逻辑用语 命题及充分条件与必要条件学纲

第一章 常用逻辑用语   命题及充分条件与必要条件学纲

                                   撰搞人：张士强   审核人：冯冰

学习目标：

1.理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式；会分析四种命题的相互关系；理解必要条件、充分条件与充要条件的意义。

2.多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念。

3.通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣；能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件。

教学重点与难点：

重点：命题的概念、命题的构成；四种命题的概念及相互关系；充分必要条件概念的理解。

难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假；四种命题的概念及相互关系；充分必要条件的判断。

内容纲要：

1.命题“若P，则q”的形式。

2.四种命题的概念及相互关系及其真假判断。

3充分必要条件的概念和判断。

重点难点解析：

一．命题的定义

定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题． 

 命题的定义的要点：能判断真假的陈述句．

例1.判断下列语句是否为命题？若是，你能判断它们的真假吗？

    (1).空集是任何集合的子集．      (2).若整数a是素数，则是a奇数．

(3).指数函数是增函数吗？       （4）.8是24的约数.

(4).若平面上两条直线不相交，则这两条直线行．

（5）两条直线相交，有且只有一个交点；    （6）他是个高个子.

二．命题的构成：条件和结论

    定义：一般地，从构成来看一个命题都具由条件和结论两部分构成．在数学中，命题常写成“若p，则q”或者 “如果p，那么q”这种形式，通常，我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件,q叫做命题结论．

 例2 .指出下列命题中的条件p和结论q，并判断个命题的真假

       （1）若整数能被2整除，则是偶数；

       （2）若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直平分；

       （3）两条直线相交有且只有一个交点 ；              

（4）对顶角相等；       

（5）垂直于同一条直线的两个平面平行。

三．四种命题

定义1：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．

定义2：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．

定义3：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．

原命题与逆否命题总是具有相同的真假性，

逆命题与否命题也总是具有相同的真假性．

例3.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假：

    （1）若一个三角形的两条边相等，则这个三角形的两个角相等；

    （2）若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被５整除；

    （3）若x2=1,则x=1；

    （4）若整数a是素数，则是a奇数。

四．充分必要条件的概念

（1）.一般地，“若p，则q”为真命题,是指由p通过推理得出q,这时, 记作pq,并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件.

（2）. 如果既有 pq,又有qp,则p是q的充要条件;

如果pq，且，则p是q的必要不充分条件.

如果，且qp，则p是q的必要不充分条件.

如果，且qpÞ，则p是q的既不充分也不必要条件.

例4 .下列“若p，则q”形式的命题中，那些命题中的p是q的什么条件？

（1）若x ＝1，则；

（2）若f(x)＝ x，则f(x)为增函数；

（3）若x为无理数，则x2为无理数． 

（4）若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等； 

（5）若a ＞b,则ac＞bc．

（6）若p:方程x+x-m=0有实数根,则q:m＞0;

（7）若p:x＞2,则q:x-x-2＞0

精要练习题

1. 写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假.

（1）若，则；

（2）全等三角形一定是相似三角形；

（3）若，则全为0；

（4）函数有两个零点；

（6）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.

（7）若a,b都是偶数，则a+b是偶数

2.   判断下列命题的真假.

 （1）是的必要条件；

 （2）圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的必要条件；

 （3）是的充分条件；

 （4）是的充分条件.

3.  下列各题中，是的什么条件？

  （1）：，：；

  （2）：，：；

  （3）：，：；

  （4）：三角形是等边三角形，：三角形是等腰三角形.

4.  已知满足条件，满足条件.

 (1)如果,那么是的什么条件?

 (2)如果,那么是的什么条件?