第一章 常用逻辑用语 全称量词与存在量词学纲
第一章 常用逻辑用语 全称量词与存在量词学纲
撰搞人：张士强 审核人：冯冰
学习目标：
1.通过具体实例理解全称量词和存在量词的含义．并会判断全称命题和特称命题的真假；
2．能够用符号表示全称命题、特称命题，能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
教学重点与难点：
重点：全称量词和存在量词的意义。
难点：全称命题和特称命题的真假的判断。
内容纲要：
1. 常见的全称量词和存在量词。
2. 全称命题和特称命题的概念。
3. 能正确地对含有一个量词的命题进行否定。
重点难点解析：
1.全称量词与全称命题
“所有”“每个”“任何”“任意一个”“一切”都是在指定范围内，表示_____或_____的含义，这样的词叫作全称量词．像这样含有_________的命题，叫作全称命题.
2.存在量词与特称命题
“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示_____或________的含义，这样的词叫作存在量词．像这样含有__________的命题，叫作特称命题.
3.全称命题与特称命题的否定
全称命题的否定是_____命题；特称命题的否定是_____命题．
要说明一个全称命题是错误的，只需找出一个反例就可以了．实际上是要说明
是正确的．
要说明一个特称命题“存在一些对象满足某一性质”是错误的，就要说明所有的对象都不满足这一性质．实际上是要说明____________________是正确的.
4.（1）全称命题、存在性命题的不同表述
同一个全称命题或存在性命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法．现列表总结于下，在实际应用中可以灵活地选择.
|
命题 |
全称命题“∀x∈A，p(x)” |
存在性命题“∃x∈A，p(x)” |
|
表述 方法 |
①所有的x∈A，p(x)成立； ②对一切x∈A，p(x)成立； ③对每一个x∈A，p(x)成立； ④任选一个x∈A，p(x)成立； ⑤凡x∈A，都有p(x)成立. |
①存在x∈A，使p(x)成立； ②至少有一个x∈A，使p(x)成立； ③对有些x∈A，使p(x)成立； ④对某个x∈A，使p(x)成立； ⑤有一个x∈A，使p(x)成立. |
（2）对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．
（3）否定命题时，要注意特殊的词，如“全”“都”等．常见关键词及其否定形式如下表.
|
关键词 |
否定词 |
关键词 |
否定词 |
|
等于 |
不等于 |
大于 |
不大于 |
|
能 |
不能 |
小于 |
不小于 |
|
至少有一个 |
一个都没有 |
至多有一个 |
至少有两个 |
|
都是 |
不都是 |
是 |
不是 |
|
没有 |
至少有一个 |
属于 |
不属于 |
1.观察下列语句：
(1)2x是偶数；
(2)对于任意一个x∈Z,2x都是偶数．
(3)所有的三角函数都是周期函数．
问题1：以上语句是命题吗？
问题2：上述命题中强调的是什么？
2．观察下列语句：
(1)存在一个x0∈R，使2x0＋2＝10；
(2)至少有一个x0∈R，使x0能被5和8整除．
问题1：以上语句是命题吗？
问题2：上述命题有什么特点？
[方法规律总结] 判断一个语句是全称命题还是特称命题的步骤：
1．首先判定语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称命题或特称命题；
2．若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称命题，含有存在量词的命题是特称命题；
3．当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质；
4．一个全称(或特称)命题往往有多种不同的表述方法，有时可能会省略全称(存在)量词，应结合具体问题多加体会.
例1. 判断下列语句是否是全称命题或特称命题．
(1)有一个实数a，a不能取对数；
(2)若所有不等式的解集为A，则有A⊆R；
(3)三角函数都是周期函数吗？
(4)有的向量方向不定；
(5)自然数的平方是正数．
例2.判断下列命题的真假：
例3．写出下列命题的否定形式．
(1)存在实数
；
(2)有的三角形是等边三角形；
(3)所有能被3整除的整数是奇数；
(4)每一个四边形的四个顶点共圆
【精要练习题】
1.下列命题：
①有一个实数不能做除数； ②棱柱是多面体；
③所有方程都有实数解； ④有些三角形是锐角三角形．
其中是特称命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D ．4
2．命题“存在实数
，使
>1”的否定是( )
A．对任意实数
，都有
>1 B．不存在实数
，使
1
C．对任意实数
，都有
1 D．存在实数
，使
1
3.写出下列每天的否定：
对任意
，
；
对任意
；
有的正方形是矩形；
存在
4.命题
：所有的
[－1,2]，
.若命题
为真命题，求实数
的取值范围．
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