2015届高三上学期第四次质量检测试卷（数学理）

利辛高级中学2015届高三第四次教学质量检测

数学试题（理 ）

命题：杜运海  审题：周峰峰

第Ⅰ卷  

一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

 

1．已知全集U=R，设函数y=lg(x-1)的定义域为集合A，函数y= 的值域为集合B，则A∩(C B)= （　　）

A．[1,2]     B．[1,2)       C．(1,2]      D．(1,2)

2.已知复数 ，则1/(Z-1)（    ）

A．      B．-i       C．i        D．

3．已知平面向量 ， ，且 ，则 （    ）

   A．      B．     C．      D．  

4．已知数列 是等差数列，且 ，则 的值为（   ）

   A．            B．             C．          D．  

5．若直线 与直线 垂直，则

 A.               B.           C. 或        D.

6．下列命题中，错 误的是

A. 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交

B.平行于同一平面的两个不同平面平行

C.如果平面 不垂直平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面

D.若直线 不平行平面 ，则在平面 内不存在与 平行的直线

7. 设 若 是 与 的等比中项，则ab的最大值为（    ）

   A．8       　B．4       　C．1       　D．    

8.在应用数学归纳法证明凸n变形的对角线为 条时，第一步检验n等于（　）

 　A.　1         B.2      　C．3       　D．4

9.已知实数a，b，c，d成等比数列，且对函数y=lnx﹣x，当x=b时取到极大值c，则ad等于（　　）

A．-1       B.1     C.0       D.2

10．若函数 （ 0且 ）在（ ）上既是奇函数又是增函数，则 的图象是（   ）

 第Ⅱ卷

 

二．填空题（本大题共5小题，每题5分，共25分）

11.已知一个三棱锥的三视图如右下图所示,其中俯视图是顶角为 的等腰三角形,则该三棱锥的体积为__   __  

12.          

13.设向量 ，若 ，则 =__________

14. 若变量 x，y满足约束条件 ，则z=3x+y的最小值为        

15．定义方程 的实数根 叫做函数 的“新驻点”，如果函数 ， ， （ ）的“新驻点”分别为 ， ， ，那么 ， ， 的大小关系是            ．

 

 

三．解答题（本大题共6小题，共75分．必须写出相应的文字说明、过程或步骤）

16. （本小题满分12分）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣ ．

（1）若0＜α＜ ，且sinα= ，求f（α）的值；

（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．

　

17．（本题满分12分）在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图．

（1）求证：AB⊥CD；

（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．

 

18（本题满分12分）在等差数列 中， ，其前 项和为 ，等比数列  的各项均为正数， ，公比为 ，且 ， 。

（1）求 与 ；

（2）设数列 满足 ，求 的前 项和 .

19. (本小题满分12分) 如图三棱柱 中，侧面 为菱形， .

(Ⅰ) 证明： ；

（Ⅱ）若 ， ，AB=BC，求二面角 的余弦值.

 

 

 

 

 

 

 

20. (本小题满分13分)

   已知 是正数组成的数列， ，且点 在函数 的图象上．

（Ⅰ）求数列 的通项公式；

（Ⅱ）若数列 满足 ， ，求证： ．

 

 

21. (本小题满分14分)

已知函数f（x）=e^x﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．

（1）求a的值及函数f（x）的极值；

（2）证明：当x＞0时，x²＜e^x；

（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x₀，使得当x∈（x₀，+∞）时，恒有x＜ce^x．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

数学理答案：

一：DCDAD  DDCAC

二：11. 2 /3  12. π²/2 -2  13. 1/3  14. 1  15 β<α<γ

三：解答题

16. 解：（1）∵0＜α＜ ，且sinα= ，∴cosα= ，

∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣ = ×（ + ）﹣ = ．

（2）f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣ ．

=sinxcosx+cos²x﹣ = sin2x+ cos2x

= sin（2x+ ），

∴T= =π，

由2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ ，k∈Z，得kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，k∈Z，

∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣ ，kπ+ ]，k∈Z．

17.（1）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AB⊂平面ABD，AB⊥BD，

∴AB⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD．

（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系．

∵AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，

∴B（0，0，0），C（1，1，0），A（0，0，1），D（0，1，0），M ．

∴ =（0，1，﹣1）， =（1，1，0）， = ．

设平面BCM的法向量 =（x，y，z），则 ，

令y=﹣1，则x=1，z=1．

∴ =（1，﹣1，1）．

设直线AD与平面MBC所成角为θ．

则sinθ=|cos |= = = ．

18. 解：1）设 的公差为 .

因为 所以

解得 或 （舍）， .

故  ， .          

（2）由（1）可知， ，

所以 .

故

 

19.（I） 连结 ，交 于点O，连结AO。因为侧面 为菱形，所以 ，且O为 及 的中点。

又 ，所以 平面ABO，由于AO 平面ABO，故

又 ，故AC= ，                        ……6分

（II）因为 ，且O为 的中点，所以AO=CO。

又因为AB=BC，所以 。

故 ，从而OA、OB、 两两相互垂直。

   以O为坐标原点， 的方向为x轴正方向， 为单位长，建立如图所示的空间指教坐标系O-xyz.

   因为 ，所以 为等边三角角，又AB=BC，则A ，B（1,0,0）， , , ,

设 式平面 的法向量，则

 即

               

所以，取n=（1， ， ）

设m是平面 的法向量，则

同理可取m=（1，- ， ）

则cos = 所以，所求角A-A₂B₂-C₁的余弦值为

20.（Ι）由已知得 ，即 ，又 ，

所以数列 是以1为首项，公差为1的等差数列．

故 ．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知： 从而 ，

．因为

，

所以 ．

解法二：

（Ⅰ）同解法一．

（Ⅱ）因为 ，

，

所以 ．

21.解：（1）由f（x）=e^x﹣ax得f′（x）=e^x﹣a．

又f′（0）=1﹣a=﹣1，∴a=2，

∴f（x）=e^x﹣2x，f′（x）=e^x﹣2．

由f′（x）=0得x=ln2，

当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；

当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；

∴当x=ln2时，f（x）有极小值为f（ln2）=e^ln2﹣2ln2=2﹣ln4．

f（x）无极大值．

（2）令g（x）=e^x﹣x²，则g′（x）=e^x﹣2x，

由（1）得，g′（x）=f（x）≥f（ln2）=e^ln2﹣2ln2=2﹣ln4＞0，即g′（x）＞0，

∴当x＞0时，g（x）＞g（0）＞0，即x²＜e^x；

（3）对任意给定的正数c，总存在x₀= ＞0．当x∈（x₀，+∞）时，

由（2）得e^x＞x²＞ x，即x＜ce^x．

∴对任意给定的正数c，总存在x₀，使得当x∈（x₀，+∞）时，恒有x＜ce^x．